本書著者勤積數十餘年潛心研究易學的應用心得，首次將《易經》中占卜與數學有關的數理概率作系統性邏輯性和完整性詳細說解，在說明方面并多舉例子以淺白通俗易懂為原則，將占卜學引導至更高深境界。
　　本書旨在介紹易卦之數學模式。一易卦以a+(2n－a)i表示。a是卦序，(2n－a)是該卦之十進制數，i是虛數單位。a+(2n－a)i稱為「卦複數」，是一種較有系統之數學模式以表示一易卦，此數學模式可作有限度之運算。此外本書涉及易卦級數、易卦集合、易卦卦線、易卦矩陣、太極級數和兩項定理；另外本書還涉及以「揲蓍掛法」布卦得四種爻﹝指少陰、少陽、老陰及老陽﹞之概率、以「揲蓍不掛法」布卦得四種爻之概率等。本書強調數學中之「概率論」在我國早已有之，只不過不為學者所重視而已。

序

　　研究《易經》可以從多方面入手，例如從哲學、文學、歷史、數學等，現代更從科學的角度去看《易》，令易學的研究更上層樓。在這眾多途徑中，我們認爲最佳的便是從卜筮和數學入門。
　　「卜筮」往往被現代學者認爲是迷信的行爲而不屑去談，於是便從哲學、文學方面去研究，顯然這方面的局限性很大。局限性大還不打緊，最大問題是出現一些不可解之「謎」，而這些「謎」是不能用哲學或文學等角度法解釋的。現舉一些不能用哲學或文學去解釋問題：
　　一、古聖賢［或云「包羲氏」或「伏羲氏」］爲甚麼要畫八卦？
　　二、大衍之數爲甚麼是五十？爲甚麼要用其四十九？
　　三、占卜時爲甚麼要「掛一」？可不可以「掛二」？「掛三」？或「掛」其他的數？
　　四、以「揲蓍法」起卦和以「擲錢法」起卦是否一樣？
　　上述問題如果不從占卜和數學方面去解釋，那就很難說得清楚，從哲學方面去解釋，只有越說越玄妙，越說越難懂。事實上，如果用嚴肅的眼光去看卜筮。對易學的研究相信有一定的幫助。但在這個科學倡明的年代，要人們去相信卜筮，肯定有一定的困難，但如果我們將「研究古人卜筮的方法」和「相信卜筮的結果」分開來看，前者是科學，後者才是迷信，這樣，相信反對研究占卜的人會大爲減少。我們應該注意到我國歷朝治《易》的學者大多數懂得卜筮，著名的易學家除孔子、周公外，還有兩漢時的京房、鄭康成、虞翻，宋之朱熹、邵康節、程灝、范仲淹、王安石、歐陽修，明清時的焦循、黃宗羲、方以智，以及較爲近代的章太炎、尚秉和等，都是擅長以易卦占卜。由此觀之，從占卜途徑去硏究《易經》，相信是古時學者之不二法門。尙秉和云：『易本用以筮，不嫺筮法，九六之義，即不知其何來，而《繫辭》〈大衍一章〉，尤難索解。春秋傳所謂某卦之某卦，亦莫明其故。故學易者，宜先明筮法。』尙氏之言，有一定的道理。有人說「善易者不占」，這句話應解釋爲「善易者不過於迷信占卜」，並不是完全不占，更不是不懂占卜。
　　上古聖賢畫八卦的目的是爲了卜筮，若果完全否定了這種說法而強加其他解釋，相信難以圓滿。《繫辭》〈下傳〉云：『古者包羲氏之王天下也，仰則觀象於天，俯則觀法於地，觀鳥獸之文與地之宜，近取諸身，遠取諸物，於是始作八卦，以通神明之德，以類萬物之情。』簡單地說一句，八卦是用來「通神明之德」，及「類萬物之情」的，當八卦能「通神」及「類萬物」後，便可從中占卜未來事之凶吉。現在解答上文的第一條問題：上古聖賢爲占卜未來事之凶吉而畫八卦，就是那麼簡單，如果否定這種說法，那就難以有圓滿的解釋。至於其他問題的答案在本書第十三至第十八章自有詳細的說明。
　　《繫辭》中有多次表明《易》是用作卜筮的，今引述其部分文字〔這些文字中皆有「占」、「凶吉」、「斷疑」等字樣］以茲佐証：
　　甲、「聖人設卦觀象，繫辭焉而明凶吉，剛柔相推而生變化，是故凶吉者，得失之象也；悔吝者，憂虞之象也；變化者，進退之象也；剛柔者，晝夜之象也；六爻之動，三極之道也。』
　　乙、『生生之謂易，成象之謂乾，效法之謂坤，極數知來之謂占，通變之謂事，陰陽不測之謂神。』
　　丙、『聖人有以見天下之動而觀其會通，以行其典禮，繫辭焉，以斷其凶吉。是故謂之爻。』
　　丁、『子曰：「夫易，何爲者也，夫易，開物成務，冒天下之道，如斯而已者也。是故聖人以通天下之志，以定天下之業，以斷天下之疑……』
　　戊、「是故易有太極，是生兩儀，兩儀生四象，四象生八卦，八卦定凶吉，凶吉生大業，是故法象莫大乎天地，變通莫大乎四時，縣象著明莫大乎日月，崇高莫大乎富貴，……探賾索隱，鉤深致遠，定天下之吉凶，成天下之亹亹者，莫大乎蓍龜。』
　　宋朱熹著《周易本義》，全書內容以占筮爲主，書後附有〈筮儀〉，詳列筮法及所需之物；宋咸淳［宋度宗年號］乙丑年吳革序《周易本義》云：『象占。易本義也。伏犧畫卦，文王槃彖，周公繫爻，皆以象與占決凶吉。』此亦足以証明宋儒視占筮爲《周易》之本旨。
　　由此可見，易和八卦是用來斷凶吉是毋庸置疑的。現代人不相信卜筮是一回事，但不能說古人不相信卜筮，我們應該承認，上古時代的統治者和平民百姓的「天命」、「鬼神」等思想在日常生活中佔極重要的地位。大概在商代時有較多的文字紀錄卜筮和祭祀的史實，於是便有「殷人尚鬼」之說，其實殷人之「尙鬼」，只是承襲堯、夏遺風而已。
　　我們一般說「卜筮」就是指預測未來之事，其實「卜」和「筮」是不同的，龜曰卜，著曰筮。「卜」是灼龜之腹甲，觀其裂紋而斷凶吉，其斷法早已失傳。〈商〉時，卜祭祀用龜甲，卜田獵用脛骨，卜征戰用胛骨，這種用龜甲、獸骨的占卜法統稱爲「龜卜」。不過，自〈周〉以後，龜卜漸漸式微，自唐以後即不見記載於典籍中。周代設官專責占卜，名曰「卜人」。「卜人」其寶是一個籠統的名稱，其上還有「大卜」和「卜師」。據《周禮．春官序官》云：『大卜下大夫二人，卜師上士四人，卜人中士八人。』疏：『大卜有卜師及卜人，皆上官。而卜人無別職者，以其助大卜、卜師行事故也。』由此可知，周時之占卜是由一組士大夫去負責，這亦顯示出問卜相當受周室所重視。用蓍草占卦才叫做「筮」［或稱爲「占」］。因爲兩者都是預測未來之事，所以才並稱爲「卜筮」，《尚書．洪範》〔七，稽疑〕云：『擇建立卜筮人，乃命卜筮。』於是卜筮便爲占休咎之統稱。《尚書．洪範》又云：『立時人作卜筮，三人占，則從二人之言。』其意思是說若有三名官員同時爲某事占卜，若其中兩人意見相同，則聽從該兩人之說法。於此可見爲某事占卜者往往不止一人。〈周〉時除流行卜龜外，亦盛行筮法，《周禮．春官》云：『凡國之大事，先筮而後卜。』可見「卜」和「筮」是相輔相承的。何謂「國之大事」？舉例來說：周成王營建洛邑，派遣召公主持其事，又派周公前往視察和占卜，《尚書．洛誥》云：『周公拜手稽首，曰：「……我卜河朔黎水。我乃卜澗水東、瀍水西，惟洛食。我又卜瀍水東，亦惟洛食。伻來，以圖及獻卜。」』其意謂周公只在洛水附近卜得吉兆，其他地方沒有，於是便派遣使者，向成王獻上洛水流域圖和龜卜［《史記》《周本紀》和《魯周公世家》有類似記載］。這是一個頗爲典型的例子。
　　龜卜其實是一門頗爲專門和深奧的學問，有嚴格的要求和限制，《周禮》有《大卜》、《卜師》、《龜人》和《占人》諸篇，都是介紹占卜術的。其中《春官．卜師》云：『凡卜，辨龜之上下左右陰陽，以授命龜者。』至於怎樣去分辨「龜之上下左右陰陽」，相信不是現在的人所能了解的。談了龜卜，不能不談一點有關龜之種類的資料。同書同章又云：『龜人掌六龜之屬，各有名物。天龜曰靈屬，地龜曰繹屬，東龜曰果屬，西龜曰雷屬，南龜曰獵屬，北龜曰若屬。各以其方之色，與其體，辨之。』這裏所謂「六龜之屬」，和《爾雅》中所說的「六龜」差不多，《爾雅》（卷十．釋魚》篇有關「龜」之部份云：『龜，俯者靈，仰者謝，前弇諸果，後弇諸獵，左倪不類，右倪不若。』簡單地說，龜可分爲「靈龜」、「謝龜」、「果龜」、「獵龜」、「類龜」和「若龜」六種；根據晉郭璞注：行時頭低的叫靈龜，頭仰的叫謝龜，甲前長的叫果龜，甲後長的叫獵龜，行時頭偏向左下方（頭偏左而視）的叫類龜，行時頭偏向右下方（頭偏右而視）的叫若龜（《爾雅》原文中之「不」字無義），這是以龜的行走時姿態及甲之前後長短作區分。若《周禮》《春官．卜師》所說之「六龜」與《爾雅》所說之「六龜」相同，則靈龜即天龜；謝龜即繹龜，亦即是地龜；果龜也叫東龜，獵龜也叫南龜，類龜也叫西龜，若龜也叫北龜。
　　《爾雅》同章又以龜之特徵及所居住之處作區分，共分成十類：一曰神龜、二曰靈龜、三曰攝龜、四曰寶龜、五曰文龜、六曰筮龜、七曰山龜、八曰澤龜、九曰水龜、十曰火龜。據郭璞注：最神明之龜曰神龜：涪陵郡（三國時蜀置，治涪陵縣，故城在今四川省彭水縣）出產之大龜曰靈龜，其甲可用作占卜；一種喜歡吃蛇的小龜名叫攝龜，江東稱之爲「陵龜」；郭璞沒有解釋甚麼叫「寶龜」，大概是指極長壽和珍貴之龜（價值十朋）；甲有文彩者曰文龜，其甲紅色，其文青色，所謂「丹甲青文」是也。相傳負「河圖」出水的靈龜就是「交龜」，郭璞言下之意文龜其實是靈龜的一種。常在蓍草下潛伏的龜叫做筮龜。
　　至於山龜、澤龜、水龜和火龜是指在山、澤、水、火中生長的龜；前三種龜的生長地可以理解，問題的是「火龜」，在現實的世界裏根本沒有龜是生活在火中的，郭璞注曰：『火龜，猶火鼠耳。』郭璞《山海經》注曾提及有「火山國」產「火龜」，人捕得之，以毛作布，名之「火浣布」。據說「火浣布」能防火。郭璞大槪知道將火龜解釋為火鼠是牽強的，於是進一步注曰：『物有含異氣者，不可以常理推，然亦無所怪。』「火龜」固然沒有，相信「火鼠」也沒有。古人名物，往往為求對稱整齊，沒有的也要捏造出來，有山龜，便有澤龜，有水龜而沒有火龜的話，水龜仙少了個匹配，在想當然的情況下，古人便捏造一種「火龜」出來。前人捏造容易，後世注釋困難，博學者姏郭璞，亦只能找出一種近似火龜的火鼠來解釋，龜與鼠顯然不同，郭璞只好說「不可以常理推」來替捏造者辯護。《爾雅》雖然提及多種龜，其實不論甚麼龜也好，只要是長壽的，珍貴的，都可以稱爲「神龜」或「寶龜」，其甲都可用作占卜。
　　「卜」之所以失傳，大概有下列三個理由：
　　一、沒有那麼多的龜甲可用［包括獸類之肩胛骨及脛骨］；
　　二、灼龜甲相信需要一定的火力、工具和技巧；
　　三、從龜甲之裂紋斷凶吉較困難，所預測之事範圍較狹。
　　〈商〉和〈周〉時相信只有朝廷、諸侯、貴族才可進行龜卜，尋常百姓家，根本無法得到所需的材料。大槪由於龜甲缺乏，古人曾經有人改用瓦，稱爲「瓦卜」，顯然，瓦片除了較易取得外，相信其困難程度不下於龜卜。既然實行灼龜有困難，其斷法逐漸失傳那就不足爲奇了。筮法所採用的工具——蓍草，顯然較龜甲易取得，尋常百姓也可取蓍草作卜筮用。而且筮法中的揲蓍法比「灼龜」容易進行得多，另一方面，我們相信用八卦斷凶吉比從龜的裂紋而斷凶吉來得簡單。於是揲蓍布卦成卜筮主流。「蓍」到底不耐用，於是改用竹製，其長與蓍相若，尺餘，可稱之爲「策」或「籤」［同「簽」］。
　　朱熹在《周易本義》中所談及的「筮儀」就是揲蓍布卦法。揲蓍布卦法涉及數學中之概率問題，本書自有詳述。揲蓍布卦可分成「卦法」和「不卦法」，這兩種方法差異不大，不過成卦的概率則大有分別。
　　揲蓍布卦法手續和步驟都很繁瑣，人們於是便發明擲錢布卦，此法比揲蓍法省時和快捷。當然兩者成卦的概率亦有很大的分別。人們爲甚麼會發明擲錢布卦？原來古人揲蓍時，以錢之背面記揲蓍後得餘數之少數，以「字」記揲蓍後得餘數之多數［見本書第十四、十五章］。其後揲蓍者漸趨懶惰，不再揲蓍，只憑錢之背或字定爻，但怎樣去決定錢之背或字？最快和最簡單的方法莫過於將三枚銅錢同時拋起，讓其自由落下，觀其字或背之向上而定一爻。這種擲錢布卦法又稱爲「文王課」，唐以後「文王課」已成占卜者之主要布卦法。唐人詩有云：『眾中不敢分明語，暗擲金錢卜遠人』，可見「文王課」之流行。清康熙、雍正年間「樵雲山人」編《飛花艷想》艷情小說，第十五回〈擲金錢喜卜歸期〉中有詩曰：『幾向鴻鱗占信候，金錢擲破歎歸遲』，清嘉慶陳球著《燕山外史》——一部以儷體文寫成之小說，其中有句云：『寶篆薰殘，默默暗祈奚事；金錢擲遍，喁喁細卜何辭』；（見該書卷二），可想而知清甚盛行以金錢問卜，當然小說與正史有別，但此等內容足以反映當時社會之一般風氣。近世更發明「擲骰法」布卦，此法之方便和簡單可媲美擲錢布卦。
　　雖然我們主張從卜筮、筮法等方面入手硏究《易》，但本書不是教人占卜，而是談及《易經》中占卜與數學有關的題目，例如得動爻的概率、用不同方法布卦得卦之概率——主要是「揲蓍」［分「卦法」和「不卦法」兩種］和「擲錢」布卦得卦的概率，較爲次要的是「擲骰法」［分爲「擲正四面體」和「擲正六面體」］。此外，還涉及「太極級數」、二進制數、卦序、卦的分類、「卦複數」、卦複數的「陽變」和「陰變」、卦線、正交卦線、擴張點、收縮點、卦之因子式等數學問題，相信這些對廣大的讀者來說都是陌生的。
　　研究《易經》的數學最重要的是系統性、邏輯性和完整性，本書已盡量達到這些要求。爲了令本書通俗易懂，我們盡量避免用太多的數學符號，在說明方面。我們多舉例子，以淺白易懂爲原則；讀者只要對數學中之概率論、排列組合、矩陣乘法有初步認識即可，我們以此書爲「磚」，「磚」拋出後，希望引出「玉」來，故本書的最終目的，就是得能到各方高明的賜教和對易學中的數學作進一步的探索。
　　最後，本書多蒙術數大師曹展碩先生鼎力支持，香港中國哲學文化出版社出版，謹此致謝。

作者謹識
一九九九年三月

目錄

第一章　河圖和洛書
　第一節　洛書的來由
　第二節　河圖的來由
　第三節　河圖數的五行相剋相生
第二章　天數、地數和大衍之數
　第一節　天地級數和河圖之數
　第二節　大衍之數的來由
　第三節　大衍之數的來由其他說法及「洛書句股圖」
第三章　太極級數和兩項定理
　第一節　太極級數
　第二節　兩項定理
第四章　八卦和二進制數學
　第一節　兩儀、四象和八卦之伏羲卦序
　第二節　四爻卦之伏羲卦序及互卦
　第三節　五爻卦之伏羲卦序、互卦及分類
　第四節　六十四卦之伏羲卦序及分類
　第五節　各宮八卦、變爻卦及不綜卦之十進制數之關係
第五章　易卦級數
　第一節　陽儀和四象級數
　第二節　八純卦級數
　第三節　四爻卦級數之通項
　第四節　五爻卦級數之通項
　第五節　六十四卦級數之通項
　第六節　七爻或以上之卦級數之通項
第六章　易卦集、易卦矩陣和2n易卦方陣
　第一節　易卦集
　第二節　易卦矩陣
　第三節　化易卦為十進制數之矩陣表示法
　第三節　n×n方陣和2n易卦方陣
第七章　易卦與複數
　第一節　易卦之複數表示法
　第二節　卦複數之陽變及陰變
　第三節　易卦之卦複數之運算法
　第四節　四爻卦之卦複數
　第五節　五爻卦之卦複數
　第六節　六十四卦之卦複數
　第七節　卦複數之因子式
　第八節　逆陽變和逆陰變
　第九節　卦複數的性質和位置
第八章　易卦複數與幾何
　第一節　純陽變、次純陽變和純陰變之圖象表示法
　第二節　以路徑法求一卦之卦複數
　第三節　陽變和陰變之圖象表示法
　第四節　逆陽變和逆陰變之圖象表示法
　第五節　卦複數的運算問題
　第六節　分解一卦複數為「基本卦複數」
第九章　正交卦線與幾何
　第一節　正交卦線和有關辭彙
　第二節　正交卦線始點序列
　第三節　正交卦線點序列與卦之特色
　第四節　正交卦線之長
第十章　擴張點和收縮點
　第一節　擴張點和擴張卦
　第二節　收縮點和收縮卦
　第三節　非整數收縮卦、分數卦、小數卦和虛卦
第十一章　陰陽級數和陰陽合併數﹝復數﹞
　第一節　陰級數、陽級數、復數
　第二節　陽卦、陰卦之卦複數及卦序級數
　第三節　六十四卦中之陽卦、陰卦之卦複數及卦序級數
第十二章　陰消陽息級數
　第一節　十二辟卦
　第二節　六爻錯卦和數和消息和數
　第三節　論凶月
第十三章　揲著布卦與擲錢布卦
　第一節　「揲蓍法」布卦四種爻之概率
　第二節　各「變」餘數固定的原理
　第三節　「不掛」之布卦法
第十四章　擲錢布卦與概率
　第一節　擲錢布卦的概率
　第二節　擲錢布卦與揲蓍布卦的差異
　第三節　以擲錢布卦法布得各卦的概率
　第四節　擲正六面體布卦法
第十五章　揲蓍布卦﹝掛法﹞與概率
　第一節　揲蓍﹝掛法﹞布卦的概率
　第二節　揲蓍掛法布卦的概率題舉例
　第三節　揲蓍布卦是否隨機的問題
第十六章　揲蓍布卦﹝不掛法﹞與概率
　第一節　揲蓍﹝不掛法﹞布卦的概率
　第二節　揲蓍不掛法布卦的概率題舉例
　第三節　簡易揲蓍法布卦
　第四節　「筮儀」釋
第十七章　大衍之數五十和四十九的問題
　第一節　大衍之數只用其四十九的原因
　第二節　以其他籤數布卦的結果
第十八章　擲正四面體布卦與概率
　第一節　擲正四面體布卦的概率
　第二節　和揲蓍、擲錢、擲正六面體和擲正四面體布卦等價的抽籤布卦法
第十九章　動爻數的概率
　第一節　動爻數
　第二節　布卦得動爻之概率
　第三節　以揲蓍不卦法得動爻之概率
　第四節　以擲正四面體法布卦得動爻之概率
　第五節　論無動爻之布卦概率
第二十章　數目與八卦
　第一節　以八卦表示一數目
　第二節　卦線上的整數問題
　第三節　易卦卦序求法
　第四節　知卦序而求卦法
　第五節　淺談六十四卦之重卦
第二十一章　卦變圖與數學
　第一節　復、姤之變卦與太極級數
　第二節　易圖之變卦、錯卦與太極級數
第二十二章　六十四卦及其互卦
　第一節　六十四卦之互卦
　第二節　十六卦之互卦
第二十三章　數學期望值和方差
　第一節　數學期望值
　第二節　方差
跋

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